Physique quantique des champs

Dans le cadre de la physique quantique des champs, le monde est basé sur tout un jeu de particules élémentaires de type fermions (spin demi-entier) interagissant entre elles au moyen d’autres particules appelées bosons  (spin entier) qui peuvent être «virtuels» s'ils représentent des champs ou réels s'ils représentent des excitations du champ, c'est à dire des ondes. Parmi, l’ensemble de toutes les particules élémentaires de la physique, l’électron, le proton et le neutron se combinent en grand nombre pour donner naissance à ce que l’on appelle la matière, c’est à dire au monde macroscopique de la vie de tous les jours. Les photons (bosons de spin 1) sont eux aussi tout aussi nombreux et forment le spectre de ondes électromagnétiques. En théorie quantique des champs, on ne parle plus d’onde ou de particules mais plutôt de champs quantiques. Rappelons que les entités dynamiques de la physique classique sont soit des particules, soit des champs. Toute particule possède une position définie à un moment donné et l’équation de Newton permet de prédire comment cette position bien définie va évoluer dans le temps sous l’action de différentes forces, donnant naissance à la notion de trajectoire.  Par contraste, un champ classique 𝜙(x,y,z,t) est une quantité qui varie de manière continue dans un espace tridimensionnel supposé être muni dans chacune des trois directions indépendantes de la topologie usuelle de l’ensemble des nombres réels. Les champs ont eux aussi une dynamique gouvernée par des équations différentielles comme les équations de Maxwell dans le cas du champ électromagnétique. Le but de la physique classique des champs est donc de prédire comment les champs vont varier en fonction du temps en chaque position de l’espace. Comme l’espace est vu ici comme une variété continue, il existe une triple infinité de positions spatiales, ce qui implique un nombre de degré de libertés infinis pour le champ. Un système physique classique le plus général contient donc des particules et des champs. 

Dans ces conditions comment quantifie-t-on un champ? Rappelons que pour une particule, les observables classiques sont la position et la quantité de mouvement. Les autres quantités comme le moment cinétique angulaire ou l’énergie sont des concepts dérivés qui peuvent s’exprimer au moyen de ce seul couple de variables dynamiques. Or, la quantification d’une particule se fait en remplaçant les observables position et quantité de mouvement par des opérateurs qui sont représentés généralement par une lettre possédant un chapeau et qui agissent dans un espace mathématique abstrait appelé «espace de Hilbert». Dans la représentation de Schrödinger de la mécanique quantique, c’est l’opérateur position qui joue un rôle de premier plan avec des opérateurs qui ne dépendent pas du temps agissant sur une fonction d’onde ψ(x,y,z,t) qui obéit à une équation différentielle du premier ordre par rapport au temps et du deuxième par rapport à l’espace (équation de Schrödinger). Les autres observables  comme le moment cinétique angulaire ou l’énergie deviennent eux aussi des opérateurs. Toute la mécanique quantique des particules découle de l’existence de relations de commutations ou de non commutation entre les différents opérateurs. Ces relations de commutation fondamentales sont en fait au cœur de la quantification d’un système de particules matérielles non relativistes.

Le premier champ qui fut quantifié fut le champ électromagnétique car il existait déjà en physique classique. La théorie quantique du champ électromagnétique remonte au milieu des années 1920 lorsque les fondations de la mécanique quantique furent établies. La théorie de l'électrodynamique quantique fut conçue dès le départ pour rendre compte de la création et de la destruction des photons. Le photon émerge naturellement comme la quantum associé au champ électromagnétique dans le cadre de cette théorie. Par la suite, les physiciens durent inventer d'autres champs, qui sont parfaitement inconnus en physique classique, et qui peuvent être quantifiés pour expliquer l'existence d'autres particules que le photon. Il existe par exemple un champ qui peut créer ou détruire des électrons. Les théories anciennes avaient pour habitude d'utiliser d'autres champs pour expliquer l'existence des protons, des neutrons, des pions et ainsi de suite. De nos jours, on a atteint un niveau de compréhension plus fondamental de la matière basé sur des quanta appelés quarks et gluons. Toutefois, eux aussi peuvent être créés et détruits à volonté. L’idée de la théorie quantique des champs est de définir une densité d’énergie qui jouera le rôle d’Hamiltonien et de considérer que chaque point (x,y,z) de l’espace est maintenant un champ (x,y,z,t) qui possèdera par dérivation par rapport au temps un moment associé π(x,y,z,t) et d’introduire un ensemble de relations de commutation faisant intervenir des intégrales autour d’un volume infiniment petit centré sur le point spatial considéré. La recherche des valeurs propres associées aux nouveaux opérateurs conduit alors au résultat remarquable qu’émerge spontanément du champ quantique une particule douée d’une masse m et d’une quantité de mouvement p et telle que le carré de son énergie E s’exprime comme: E² = p²·c² + m²·c⁴. Un autre résultat intéressant est qu’il existe aussi un état unique de masse nulle et de quantité de mouvement nulle qui correspond à un état de vacuité. En fait par combinaisons linéaires, il existe aussi des états pour n’importe quel nombre de particules, chacune ayant leur énergie et leur quantité de mouvement, l’énergie totale étant la somme des contributions de chaque particules individuelles.

Il est crucial de bien comprendre que la physique quantique des champs permet de décrire n’importe quel ensemble de particules qui peuvent apparaître ou disparaître à n’importe quel moment. En physique quantique des champs, il n’y a au départ aucune particule car celles-ci émergent comme les excitations ou les quanta d’un champ quantique donné. L'espace de Hilbert n'existe donc plus dans ce type de physique et se trouve remplacé par «espace de Fock» décrivant en chaque point de l'espace-temps le nombre de quanta présents. De plus, comme les états à plusieurs particules dérivent tous d’un même champ quantique, toutes les particules sont créées avec nécessairement la même masse, la même charge, c’est à dire qu’elles sont parfaitement indiscernables. Ceci est en très net contraste avec la physique quantique corpusculaire traité précédemment où, le nombre total de particules était une donnée initiale qui ne pouvait varier dans le temps et où le fait que les particules élémentaires soient indiscernables au sein d’une même expérience était une évidence découlant de l’expérience et non de la théorie. En physique quantique des champs, le nombre de particules devient donc une observable avec un opérateur associé qui possède un spectre de valeurs et de vecteurs propres et qui obéit à un principe d’incertitude impliquant nombre de quanta et phase quantique.  Rappelons qu’en physique quantique il est possible d’associer à tout état d’énergie E un fréquence ν  = E/h et une phase quantique φ = 2πE·t/h = 2πν·t. En physique quantique des champs, l’énergie totale E est fonction du nombre total de quanta excité selon E = N·hν et toute fluctuation d’énergie ∆E durant un laps de temps ∆t = ∆φ/2π∆ν correspond donc à une fluctuation du nombre de quanta ∆N = ∆E/hν.  Comme il existe une relation d’incertitude liant temps et énergie ∆E·∆t ≥ h/2π, il découle donc ∆N·hν· ∆φ/2π∆ν ≥ h/2π, soit après simplification: ∆N·∆φ ≥ 1. Il est extrêmement satisfaisant que la loi de conservation de la charge électrique puisse être associée en physique quantique à la relativité de l’origine pour mesurer la phase quantique et à l’opération de symétrie consistant à changer l’angle de phase d’une quantité infinitésimale dγ. Ceci a pour conséquence que toute information codée au niveau d’une phase quantique ne sera pas mesurable physiquement, car seuls les effets liés aux différences de phase peuvent être observés.