Théorème du viriel

Les notions d’énergie cinétique K et d’énergie potentielle U jouent un rôle clef en physique classique ou quantique. Concernant ces deux types d’énergie, l’une K = ½m·v² où m est la masse et v la vitesse d’un mobile donné est de type répulsive tendant à faire décrire au mobile tout le volume disponible. L’autre U est de type attractive décrivant les forces f qui s’exercent sur le mobile dU = -f·dr, le signe moins traduisant le fait que cette énergie tend a ramener le mobile en un point donné, ce qui l’empêche de parcourir tout le volume disponible. Il découle de ces deux propriétés fondamentales des énergies K et U que si un système en équilibre thermique possède une taille caractéristique stable dans le temps, c’est que les deux contributions K et U se compensent mutuellement car si l’une était vraiment différente de l’autre, on aurait soit un gaz (K >> U), soit un solide compact (K << -U). Ceci signifie donc qu’à l’équilibre thermique il doit exister une relation de dépendance entre K et U, et c’est le rôle du théorème du viriel que de préciser cette relation. Nous démontrons ici ce théorème dans un cadre classique mais il est bon de savoir qu'il reste parfaitement valable en physique quantique. 

L’idée de base consiste à voir que la valeur moyenne <x·v_x + y·v_y + z·v_z> du produit scalaire entre le vecteur position et le vecteur vitesse d’un mobile quelconque évoluant dans un volume tridimensionnel restreint de taille r, où r² = x² + y² + z², ne peut être que nulle à l’équilibre thermique. En effet si je me place en un point (x,y,z) donné je vais voir passer le mobile s’éloigner de ce point avec une vitesse +v selon la direction x pour fixer les idées. Certes, mais si je reste au même point et à condition que j’attende suffisamment longtemps, je serais obligé de voir mon mobile se rapprocher de moi avec la même vitesse mais orientée cette fois dans la direction -x. Au bilan, j’ai donc <x·v_x + y·v_y + z·v_z> = <x·v - x·v> = 0. Si d’aventure, ayant attendu très longtemps, cette inversion du vecteur vitesse dans la direction x ne se produisait pas, alors cela signifierait que le mobile est perdu à jamais. Certes, mais ceci est en contradiction avec l’hypothèse de départ selon laquelle le mobile reste confiné dans un volume de taille r. Bien évidemment, ce qui est vrai de la direction x s’applique non seulement aux directions y et z mais également à n’importe quel direction. 

Ce point étant acquis, considérons que le mobile se trouve soumis à un potentiel U proportionnel à la taille r du domaine visité élevée à une puissance b, soit U = C·rⁿ. Un tel potentiel pourrait correspondre à un force élastique, auquel cas n = 2, ou encore à une force électromagnétique ou gravitationnelle auquel cas n = -1. Évaluons le produit entre la force f_x = -∂U/∂x qui s’exerce dans la direction x et la position en x. Ici le symbole ‘∂’ signifie qu’il faut calculer la dérivée du potentiel par rapport à la coordonnée x en considérant que les autres coordonnées y et z sont des constantes. Compte tenu de la forme choisie pour le potentiel U, on a:

\[{f_x} =  - C\cdot n\cdot{r^{n - 1}}\cdot\frac{{\partial r}}{{\partial x}} =  - n\cdot\frac{U}{r}\cdot\frac{{\partial r}}{{\partial x}}\]

 Or comme r² = x² + y² + z² , il vient aussi que:

\[2r\cdot\frac{{\partial r}}{{\partial x}} = 2x \Rightarrow \frac{{\partial r}}{{\partial x}} = \frac{x}{r}\]

Il découle de ceci que le produit de position en x par la force qui s’exerce dans cette même direction x est proportionnel au potentiel U que multiplie le carré de la position x et que divise le carré de la taille r, soit:

\[x\cdot{f_x} =  - n\cdot U\cdot\frac{{{x^2}}}{{{r^2}}}\]

 Vu que les coordonnées x, y et z jouent une tôle parfaitement symétrique dans l’expression du potentiel U, le même calcul réalisé dans les directions y et z donnera par analogie directe: y·f_y = -n·U·y²/r² et z·f_z = -n·U·z²/r². Si maintenant je somme ces trois expressions, je trouve que le produit scalaire du vecteur position par le vecteur force est donc proportionnel au potentiel U changé de signe, soit x·f_x + y·f_y + z·f_z = - n·U·(x² + y² + z²)/r² = -n·U.

Ce nouveau point étant acquis, je sais aussi que d’après la loi de Newton que le taux de variation de la quantité de mouvement p doit être à tout instant t égal à la force f. Comme la quantité de mouvement est égale au produit de la masse par la vitesse, je peux écrire que pendant un temps dt on aura:

\[i = (x,y,z) \Rightarrow {f_i} = m\cdot\frac{{d{{\rm{v}}_i}}}{{dt}}\]

 Si j'évalue maintenant le produit scalaire avec la position, il vient: (m·x·dv_x + m·y·dv_y + m·z·dv_z) = (x·f_x + y·f_y + z·f_z)·dt = -n·U·dt. La dérivée du produit d(f·g) étant égale à g·df + f·dg, il vient que:

 m·d(x·v_x + y·v_y + z·v_z) = m·(dx·v_x + dy·v_y + dz·v_z) + (m·x·dv_x + m·y·dv_y + m·z·dv_z)

Le deuxième terme à droite dans cette relation étant égal à -n·U·dt et comme par définition du vecteur vitesse dx = v_x·dt, dy = v_y·dt et dz = v_z·dt, on trouve que compte tenu du fait que l’énergie cinétique K = ½m·v²:

m·d(x·v_x + y·v_y + z·v_z) = [m·(v_x² + v_y² + v_z²) - n·U]·dt = (m·v² - n·U)·dt = (2K - n·U)·dt

Il reste maintenant à attendre suffisamment longtemps pour s’assurer que la condition de mouvement dans un volume restreint <x·v_x + y·v_y + z·v_z> = 0 soit satisfaite pour arriver à l’expression du théorème du viriel: 

Pour tout système matériel soumis à un potentiel variant comme la puissance b de la distance r à l’origine et restant confiné à tout moment dans un volume de taille finie, la condition d’équilibre mécanique statistique sera que le double de la valeur moyenne de l’énergie cinétique  sur le temps <K> sera égale à b fois la valeur moyenne de l’énergie potentielle sur le temps <U>, soit 2<K> = n·<U>.

Notons bien que ce théorème concerne le comportement du système au bout d’un temps infini et non son comportement à un instant t. Il peut s’appliquer dans toute situation où le système adopte une taille caractéristique et ce quelque soit le nombre d’objets constitutifs. Il s’applique donc aussi bien à un atome, qu’à une protéine, un cristal, une cellule, une planète, un système stellaire, une galaxie, voire même à un amas de galaxie. Peu importe la taille du système pourvu que cette taille soit stable dans le temps.

Le théorème du viriel permet par exemple de comprendre que lorsqu'une masse de gaz se contracte, la moitié de l'énergie potentielle acquise sert à réchauffer l'étoile, tandis que l'autre moitié est émise sous forme de lumière. En effet, soit une masse M de gaz assimilable à une sphère de rayon R contenant N particules en mouvement. La loi de gravitation universelle de Newton nous apprend qu'il possède une énergie potentielle U:

\[U = {\rm{ - G\cdot}}\frac{{{M^2}}}{2R}\]

L'énergie potentielle variant comme R^-1, nous avons dans le cas présent n = -1, et le théorème du viriel nous apprend que si cette masse de gaz garde une taille finie, l'énergie cinétique moyenne doit valoir:

\[\left\langle 2K \right\rangle  = \3N\cdot{k_B}T =  - \frac{{\left\langle U \right\rangle }}{2} = G\cdot\frac{{{M^2}}}{{2r}} \Rightarrow r\cdot T = G\cdot\frac{{{M^2}}}{{6N\cdot{k_B}}}\]

On voit ainsi que pour une masse M et un nombre N fixé, le produit du rayon par la température doit rester constant. Si le nuage de gaz se contracte suite à l'attraction gravitationnelle entre les particules, r diminue et par conséquent T doit augmenter afin de que produit r·T reste constant. Cette augmentation de température provoque ainsi une augmentation de la luminosité de la masse gazeuse comme le stipule les lois de Wien, λ_max·T = 2898 µm·K, et de Stefan, P = σ·T⁴, avec σ = 5,67·10^-8 W·m^-2·K^-4. C'est ainsi que se forment et brillent dans le ciel toutes les étoiles et galaxies.
Le théorème du viriel permet aussi connaissant la vitesse moyenne V des étoiles tournant autour du centre de leur galaxie de remonter à la masse totale présente:

\[2\left\langle K \right\rangle  = M\cdot{V^2} = G\cdot\frac{{{M^2}}}{{2R}} \Rightarrow M = \frac{{2R\cdot{V^2}}}{G}\]

Si l'on prend comme unités la masse du soleil M_S = 1,98·10³⁰ kg et la distance en parsecs 1 pc= 3,085 678·10¹⁶ m = 3,2616 années-lumière il vient:

\[\frac{M}{{{M_S}}} = 467\cdot{\left[ {V/km\cdot{s^{ - 1}}} \right]^2}\cdot\left[ {R/a.l.} \right]\] 

Ainsi, on sait par décalage Doppler que le soleil se trouve à une distance de 8500 pc  du centre de la voie lactée et se délace avec une vitesse voisine de 220 km·s^-1. Il s'en suit que la masse de la voir lactée vaut environ 1,9·10¹¹ masses solaires.