Ondes de matière

Quel fut le raisonnement suivi par Louis de Broglie, dès 1923 pour comprendre que la matière devait avoir un caractère ondulatoire complémentaire du caractère corpusculaire mis en évidence par la physique classique? Son point de départ fut, d'une part, la démonstration par Albert Einstein dès 1905 de la dualité onde-corpuscule de la lumière [1] et la confirmation expérimentale éclatante de l'aspect corpusculaire des rayons X lorsqu'ils rencontrent des électrons par Arthur Holly Compton en 1923. Le raisonnement se base également sur la théorie de la relativité restreinte [3] et sur la célèbre relation d'équivalence masse-énergie [4], du même Albert Einstein, articles publiés eux aussi en 1905. Le premier papier de 1905 d'Albert Einstein stipule que l'énergie E d'une lumière de fréquence ν est véhiculée sous la forme de paquets ou quanta d''énergie qui seront plus tard baptisés "photons" par Gilbert Newton Lewis [5] avec la correspondance:

E = h·ν

où h est la constante introduite par Max Planck pour rendre compte du spectre de rayonnement du corps noir [6]. D'autre part, la théorie de la relativité nous apprend que même si un photon possède une masse au repos nulle, il véhicule néanmoins un quantité de mouvement p = E/c = h·ν/c, où c est la constante d'Einstein, c'est à dire la vitesse de propagation de la lumière dans le vide. Or, comme le rapport c/ν correspond à la longueur d'onde spatiale λ du photon, il en découle immédiatement que tout photon transporte une quantité de mouvement:

p = h/λ

Bien sûr, tout ce raisonnement ne concerne que la lumière et non la matière. Il est donc parfaitement abusif comme le prétendent certains auteurs de poser que pour une particule matérielle de masse m et de vitesse v, on a p = m·v et que par conséquent on doit avoir une longueur d'onde associée λ = h/p aussi pour la matière. Si l'idée avait été aussi simple, Louis de Broglie n'aurait jamais obtenu son prix Nobel pour un calcul aussi élémentaire de deux lignes. De Broglie se demandait en fait ce qui se passerait si l'on convertissait l'énergie totale relativiste d'une particule de matière fixée par la célèbre relation:

E = m·c²

en une fréquence ν en utilisant la relation de Planck-Einstein: E = h·ν = m·c². Si cette transformation est triviale sur le plan mathématique, il n'en va pas du tout de même sur le plan physique. En effet, physiquement parlant une fréquence est l'inverse d'un temps. Or, en relativité, on sait que temps et espace se mélangent selon la transformation de Lorentz en fonction du rapport β = v/c et que la fréquence dépend donc du repère choisi pour mesurer la vitesse v.

De Broglie commença donc par considérer un observateur se déplaçant avec la même vitesse qu'un électron [7-12]. Dans ce repère où la vitesse relative v est nulle, l'observateur voit donc un champ scalaire d'ondes ψ qui évolue dans le temps selon:

ψ = sin(2πν₀·t₀)

avec une fréquence h·ν₀ = m₀·c². En particulier, on peut voir que la phase φ du champ scalaire est la même en tous les points de l'espace. Puis Louis de Broglie se pose la question de savoir ce que verrait un observateur, qui dans une deuxième repère, serait fixe et qui verrait donc le même électrons se déplacer avec une vitesse relative v = β·c qui n'est plus nulle. D'après la transformation de Lorentz, on sait que le temps t₀ mesuré dans le premier repère est relié au temps t mesuré dans le second repère par la relation:

t₀ = γ·(t - β·x/c) avec γ = (1 - β²)^-1/2

Si l''on reporte cette expression dans la précédente, l'onde associée devient:

ψ = sin[2πγ·ν₀·(t- β·x/c)] = sin[2πν·(t - x/V)]

Le deuxième observateur voit donc une onde de fréquence différente ν = γ·ν₀ (effet Doppler), qui est déphasée et dont la phase se propage avec une vitesse V = c/β = c²/v. Il ne peut bien évidemment s'agir que d'une vitesse de phase, puisque comme le facteur β d'une particule matérielle est nécessairement inférieur à 1, on a V > c. La propagation de l'onde associée se fait donc à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière, ce qui ne pose aucun souci pour la phase, car dans ce cas la vitesse V traduit la vitesse de propagation des points où l'onde possède une amplitude nulle, c'est à dire des points qui ne transportent aucune énergie. Ici Louis de Broglie va faire un parallèle avec ce qui se passe dans le cas des ondes de lumière se propageant dans un milieu dispersif d'indice de réfraction n = c/V. Comme ici on a V = c/β, il en découle que le facteur relativiste β joue pour les ondes de matière se propageant dans le vide, le rôle que joue l'indice de réfraction n pour les ondes de lumière se propageant dans la matière. C'est à dire que le vide se comporte bien comme un milieu dispersif vis à vis des ondes de matières. Comme le rapport de vitesse β est lui-même fonction du facteur de dilatation relativiste γ, il en découle que l'indice de réfraction des ondes de matière varie avec la fréquence ν selon la loi:

γ^-2 = 1 - β² = (ν₀/ν)²

soit: β = c/V = n = [1 - (ν₀/ν)²]^1/2

Connaissant la loi de dispersion en fréquence de ses ondes de matière, De Broglie se pose alors la question de savoir à quoi correspond la vitesse de groupe U du paquet d''ondes associé à la particule. Pour cela il s'appuie encore une fois sur les lois connues de l'optique qui définissent le rapport entre la vitesse de propagation dans le vide c et la vitesse de groupe U comme la dérivée par rapport à la fréquence ν du produit de l'indice de réfraction par cette même fréquence ν: c/U = ∂(n·ν)/∂ν, soit:

n·ν = (ν² - ν₀/ν²)^1/2 ⇒ ∂(n·ν)/∂ν = ν·(ν² - ν₀/ν²)^-1/2 = 1/n

Il constate ainsi que le rapport de vitesse β possède 3 interprétations possibles:

i) Rapport de la vitesse v de l''objet matériel à la vitesse de la lumière c: β = v/c
ii) Rapport de la vitesse de la lumière c et de la vitesse V de l''onde de phase associée : β = c/V
iii) Rapport de la vitesse de groupe U du paquet d''onde associé au corpuscule et de la vitesse de lumière c: β = U/c

Comme cela fait beaucoup d'interprétations pour une seule réalité physique, il remarque que les deux dernières interprétations impliquent que c/V = U/c, c'est à dire que le produit de la vitesse de phase par la vitesse de groupe de l'onde de matière est égale au carré de la vitesse de la lumière: U·V = c², ce qui était déjà bien connu en optique. Il remarque surtout que la première interprétation combinée à la troisième implique que: v/c = U/c, soit U = v. En d'autres termes, pour l'observateur immobile la vitesse de groupe du paquet d'ondes, qui correspond à la vitesse de déplacement de l'énergie associée à l'onde, coïncide à tout moment à la vitesse du centre de masse de la particule. C'est l'éclair fulgurant dans la tête de De Broglie qui comprend que la matière, tout comme la lumière possède bien la caractéristique de dualité: avec un comportement ondulatoire lorsqu'on regarde l'objet se déplacer et un comportement corpusculaire lorsqu'on se déplace en même temps que ce dernier. La symétrie entre matière et rayonnement est donc parfaite et il ne reste plus qu'à calculer la longueur d'onde du point de vue ondulatoire puisque l'on connaît déjà la fréquence via la relation: h·ν₀ = m₀·c². Or, par définition la vitesse de phase V est égale au produit de longueur d'onde λ par la fréquence ν tandis que par dilatation relativiste, la fréquence ν est liée à la fréquence au repos ν₀ par la relation: ν = γ·ν₀, soit:

λ = V/ν = c²/(ν·v) = c²/(γ·ν₀·v)\r\n\r\nc²/ν₀ = h/m₀ ⇒ λ = h/(γ·m₀·v) = h/p

Puisque p = γ·m₀·v est l''expression bien connue de la quantité de mouvement relativiste d'une particule de masse au repos m₀, se déplaçant avec la vitesse v.

Q.E.D.

Cette conception de la matière où le déplacement de la masse et de l'énergie se fait à la même vitesse v inférieure à la vitesse de la lumière, accompagnée d'une onde dans l'espace des phases se propageant plus vite que la vitesse de la lumière va au premier abord sembler bien étrange, voire même "saugrenue" selon l'opinion de Paul Langevin, rapporteur de la thèse de Louis de Broglie. La thèse fut soutenue le 25 novembre 1924 à la Sorbonne devant un jury composé de Jean Perrin (président, physicien ayant démontré l'existence des atomes), d'Eli Cartan, (mathématicien inventeur des spineurs et des outils mathématiques de la relativité générale), de Charles-Victor Mauguin (minéralogiste et cristallographe de grand renom) et de Paul Langevin (physicien, professeur au Collège de France, spécialiste de la théorie de la relativité et des quanta) après que Paul Langevin ait sollicité l'avis d''Albert Einstein. Ce dernier fut tellement impressionné par ce raisonnement sans faille mené par un jeune freluquet âgé de 31 ans qu'il répondit: "Er hat ein Zipfel des grossen Schleirs gelüfted", ce qui peut être traduit par "Il a soulevé un coin du grand voile" et qui leva les derniers doutes de Langevin. La réticence du jury devant ces idées révolutionnaires se manifesta par cette unique phrase apposée sur le rapport de thèse par Jean Perrin: "La thèse a été brillamment soutenue. Mention très honorable." Sachant qu'à l''époque il était extrêmement courant d'obtenir sa thèse avec la mention "avec les félicitations des membres du jury", cette mention "très honorable" était un clair désaveu que la Sorbonne allait regretter amèrement lorsque le jury Nobel attribua en 1929 le prix de physique à Louis de Broglie pour sa brillante hypothèse de la dualité onde-corpuscule, confirmée expérimentalement dès 1927 par le phénomène de diffraction des électrons et qui avait permis le développement rapide du formalisme de la mécanique ondulatoire d'Erwin Schrödinger.

Références

[1] A. Einstein, "Concerning an heuritic point of view toward the emission and transformation of light", Ann. Physik, 17 (1905) 132-148. Traduction anglaise dans Am. J. Phys., 33 (1965) 367-374.
[2] A. H. Compton, "A quantum theory of the scattering of X-rays by light elements", Phys. Rev., 21 (1923) 483-502
[3] A. Einstein, "On the electrodynamics of moving bodies", Ann. Physik, 17 (1905) 891-921.
[4] A. EInstein, "Does the inertia of a body depend on its energy content", Ann. Physik, 18 (1905) 639-641.
[5] G. N. Lewis, "The conservation of photons", Nature, 119 (1926) 874-875.
[6] M. Planck, "On the theory of the energy distribution law of the normal spectrum", Verhandl. Dtsch. Phys. Ges., 2 (1900) 237-244.
[7] L. De Broglie, "Ondes et quanta", Comptes Rendus, 177 (1923) 507-510.
[8] L. De Broglie, "Quanta de lumière, diffraction et interférences", Comptes Rendus, 177 (1923) 549-550.
[9] L. De Broglie, "Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat", Comptes Rendus, 177 (1923) 631-632.
[10] L. De Broglie, "The wave nature of the electron", Nobel lecture, 12 décembre 1929, 244-256.
[11] L. De Broglie, "The reinterpretation of wave mechanics", Found. Phys., 1 (1970) 5-15.
[12] J.W. Haslett, "Phase waves of Louis de Broglie", Am. J. Phys., 40 (1972) 1315-1320.