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lundi 17 mars 2014

Spin de l'électron

En février 1926, le physicien britannique Llewellyn Thomas (1903-1992) va pointer une erreur dans le traitement relativiste de l'électron permettant de résoudre le problème du facteur 2 dans l'effet Zeeman anormal. Ainsi, dans un système de coordonnées où l'électron est momentanément au repos, la fréquence de précession de l'axe du spin de l'électron en présence d'un champ magnétique \[\vec{H}\] vaut: \[\left\{\begin{matrix} \vec{\omega }=\frac{e}{m_{e}}\vec{H}\\\vec{H}=\frac{1}{c}\left [ \vec{E} \wedge \vec{v}\right ]\end{matrix}\right.\Rightarrow \vec{\omega }=\frac{e}{m_{e}c^{2}}\left [ \vec{E} \wedge \vec{v}\right ]\] Ici \[\vec{v}\] désigne la vitesse de l'électron dans le repère où le noyau est au repos. L'expression précédente conduit bien à une séparation du doublet relativiste qui est deux fois supérieure à ce que l'on observe expérimentalement. Pour résoudre ce désaccord théorie/expérience, Thomas considère donc un troisième repère obtenu à partir du repère où le noyau est au repos via une poussée de Lorentz de vitesse \[\vec{a}\cdot dt\], où \[\vec{a}\] représente l'accélération que subit l'électron suite à son mouvement rotatif autour du noyau. Dans ce nouveau repère, la fréquence de rotation s'exprime comme la somme de deux termes: \[\vec{\omega }=\frac{e}{m_{e}}\vec{H}-\frac{1}{2c^{2}}\left [ \vec{v} \wedge \vec{a}\right ]\] Comme l'accélération est en première approximation proportionnelle au champ électrique, il en découle que: \[\vec{a}=-\frac{e}{m_{e}}\vec{E}\Rightarrow \vec{\omega}=\frac{e}{m_{e}c^{2}}\left [ \vec{E} \wedge \vec{v}\right ]+\frac{1}{2m_{e}c^{2}}\left [ \vec{v} \wedge \vec{E}\right ]=\frac{e}{2m_{e}c^{2}}\left [ \vec{E} \wedge \vec{v}\right ]\] Ce qui est juste la moitié de l'expression où l'on considère l'électron momentanément au repos. Ce calcul montre donc que l'hypothèse de l'électron en rotation sur lui-même est parfaitement compatible avec ce que l'on observe expérimentalement concernant les spectres de structure fine des atomes. Voici d'ailleurs un extrait d''une lettre de Llewellyn Thomas à Samuel Goudsmit jetant un éclairage intéressant que la personnalité de Wolfgang Pauli:



Pour ceux qui ne comprennent pas l'anglais, voici une traduction de cette lettre peu élogieuse pour Pauli:
"Je pense qu'Uhlenbeck et toi avaient été très chanceux de voir cette idée de rotation de l'électron sur lui-même publiée et discutée avant que Pauli n'ai été au courant. En effet, il y a un peu plus d'un an, Krönig croyait aussi à une telle précession de l'électron et avait même commencer à écrire quelque chose; et Pauli fut la première personne à qui il parla de cette idée. Pauli ridiculisa tellement la chose entière, que la première personne à avoir eu une telle idée fut aussi la dernière et ne voulu plus jamais en entendre parler. Tout ceci pour dire que l'infaillibilité de Dieu ne s'applique en aucune manière à son très auto-centré vicaire terrestre."

De fait, Pauli était célèbre pour ses critiques acerbes et sarcastiques, puisque ces collègues en était arrivé à le surnommer "La Fureur de Dieu". Son avis était néanmoins toujours très respecté en raison du fait qu'il avait, à l'âge de seulement 21 ans, rédigé un traité de physique relativiste de 350 pages auquel Albert Einstein lui-même n'avait rien trouvé à redire. Pour cette raison, il était considéré comme l'égal d'Einstein, voire même comme étant supérieur à lui. Cette attitude railleuse et son auto-suffisance soulignée par Thomas dans sa lettre à Goudsmit l'a d'ailleurs conduit à une profonde dépression suite au suicide de sa mère en 1927 et à son divorce en 1930. Il réussit néanmoins à sortir de cette dépression et à se remarier grâce à l'aide du psychanalyste Carl Gustav Jung. Pauli aida ainsi Jung à découvrir grâce aux rêves qu'il faisait à cette époque le concept d'inconscient collectif ainsi que le phénomène de synchronicité, puisque Pauli était l'égal d'Einstein pour tout problème lié à la théorie de la relativité qui montre que le temps est une chose relative qui peut être modifié lors de poussées de Lorentz.

Toutefois, si l'article de Thomas résolvait le problème de la structure fine des raies d'émission des atomes en liaison avec l'effet Zeeman anormal, il ne résolvait en rien l'objection de Pauli concernant les vitesses supra-lumineuses à la périphérie de l'électron lors de son mouvement de rotation sur lui-même. En fait, là aussi Pauli a été très décevant car son objection à l'idée initiale de Ralph Krönig, était basé sur un calcul très rapide ne prenant pas en compte la variation de masse de l'électron avec sa vitesse. Pour un spécialiste de la relativité ceci n'est pas très sérieux et montre encore une fois le caractère hargneux et impulsif de Pauli à cette époque. Voici maintenant un calcul montrant comment il est possible de montrer que le mouvement de rotation de l'électron sur lui-même conduit bien à un moment angulaire de spin demi-entier, sans que la vitesse en périphérie ne devienne supra-lumineuse. Soir donc r la distance à l’axe de rotation où la matière constituant l'électron tourne avec une fréquence angulaire ω et une vitesse linéaire v = r·ω et qui augmente donc linéairement avec r comme l'avait vu Pauli. Comme dans le cadre de la théorie de la relativité v ≤ c, il en découle que lorsqu’on arrive en périphérie de l’électron (r = R) on doit avoir, au plus, v = c, c'est à dire c = R·ω. Il en découle que l’indice de réfraction du vide pour l’onde de Broglie associé à la matière de l’électron vaut β = v/c = r/R:



Dans ce cadre relativiste quantique, la masse m associée à l’électron n’est pas sa masse au repos me, mais varie avec β ce qui permet d’exprimer la densité ρ(r) de l’électron en fonction de la distance à l'axe de rotation r. La masse totale de l’électron relativiste se calcule donc en intégrant cette densité de masse ρ(r) depuis le centre (r = 0) jusqu’à la périphérie (r = R) sur un cylindre de circonférence 2πr, de hauteur 2h et d’épaisseur dr: \[m(r)=\frac{m_{e}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Rightarrow m=\int_{0}^{R}\frac{\rho _{e}\cdot 2\pi r\cdot (2h)\cdot dr}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\] où ρe désigne la densité en masse d'un électron: ρe = me/V, avec V = (4π/3)·R3 volume de l'électron. En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle de côtés (R, r, h), il est possible d’exprimer la hauteur h en fonction du rapport r/R = v/c, soit: \[r^{2} +h^{2}=R^{2}\Rightarrow h=R\sqrt{1-\frac{r^{2}}{R^{2}}}=R\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\] Ceci permet donc de calculer la masse réelle de l'électron en mouvement relativiste comme: \[m=4\pi \rho _{e}\cdot R\int_{0}^{R}r\cdot dr=2\pi \rho _{e}\cdot R^{3}=\frac{3m_{e}}{2}\] L’électron a donc vu sa masse augmenter de moitié par rapport à sa valeur initiale au repos. Le moment d’inertie I associé à cette masse m en rotation de rayon R, vaut dans ces conditions: \[I=4\pi \rho _{e}\cdot R\int_{0}^{R}r^{3}\cdot dr=\pi \rho _{e}\cdot R^{5}=\frac{m\cdot R^{2}}{2}\] Maintenant, la relation de Planck-Einstein donne la fréquence propre ν de l'électron que l'on peut identifier à sa vitesse de rotation angulaire ω, soit: \[\omega =2\pi \nu =\frac{mc^{2}}{\hbar}\Rightarrow R=\frac{c}{\omega }=\frac{\hbar}{mc}=\lambda _{C}\] On obtient ainsi une taille de l'électron différente du rayon classique qui avait été utilisé par Pauli pour démolir l'idée initiale de Krönig. Cette taille λC est la longueur d'onde de Compton, celle-là même qui apparaît dans l'équation de Klein-Gordon et, bien sûr, dans l'effet Compton. Il ne reste plus qu’à exprimer le moment angulaire comme le produit du moment d’inertie par la vitesse angulaire de rotation ω déduite de la longueur d'onde de Compton de l'électron: \[\omega =\frac{c}{\lambda _{C} }\Rightarrow L=I\cdot \omega =\frac{1}{2}mc\cdot \lambda _{C} =\frac{\hbar}{2}\] On trouve donc bien un moment cinétique demi-entier, ce qui valide complètement l’image du spin de l’électron comme un mouvement rotatif de ce dernier sur lui-même. D'ailleurs le même type de calcul mené pour un photon permet aussi de retrouver très facilement le moment angulaire intrinsèque entier égal à ℏ (et non ℏ/2 comme pour l'électron). Malgré cela, Pauli ne fut jamais totalement convaincu de la validité de cette image de l'électron en rotation sur lui-même comme image physique de cette propriété quantique que l'on nomme le spin. Ce scepticisme de Pauli est toujours en vigueur chez beaucoup de physiciens qui rechignent à admettre que le grand maître de la théorie de la relativité ait manqué de rigueur. Ceci explique l'auréole de mystère qui continue à entourer la notion de spin dans beaucoup d'ouvrages traitant de physique quantique. Le mythe que le spin est une propriété purement quantique qui n'a aucun équivalent classique et que l'on ne peut donc exprimer qu'au moyen de matrices dans le cadre de la théorie des groupes ou bien au moyen de l'équation de Dirac en électrodynamique quantique a donc encore la vie dure et est en partie responsable de la perplexité qu'affiche les personnes non mathématicienne devant la physique quantique. Ce mystère qui a effectivement entouré le spin lors de sa naissance n'a donc plus de raison d'être de nos jours et tout comme la rotation de l'électron autour du noyau entraîne l'existence d'un moment angulaire orbital extrinsèque, la rotation de l'électron sur lui-même engendre un autre type de moment angulaire, intrinsèque, s'identifiant au spin de la physique quantique.

Références

L.H. Thomas, "The motion of the spinning electron", Nature, 117 (1926) 514.
MacGregor M.H., "The Enigmatic Electron", Kluwer, Dordrecht, 1992.

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